Curso de Eletrônica Digital – A Álgebra de Boole (CUR5002)

Detalhes: Escrito por: Newton C. Braga

2.1 - A álgebra de Boole

Em meados do século XIX George Boole, um matemático inglês, desenvolveu uma teoria completamente diferente para a época. Ela era baseada em uma série de postulados e operações simples para se resolver uma infinidade de problemas.

No entanto, se bem que a Álgebra de Boole, como foi chamada, pode resolver problemas práticos de controle, fabricação de produtos, instrumentação, etc., na época não havia eletrônica e nem mesmo as máquinas eram avançadas o suficiente para utilizar seus princípios.

A Álgebra de Boole veio a se tornar importante com o advento da Eletrônica, especificamente da eletrônica digital que gerou os modernos computadores, equipamentos digitais e de telecomunicações com que estamos familiarizados.

Boole estabelece em sua teoria que só existem no universo duas condições possíveis ou estados, para a análise de qualquer situação, e estes dois estados são opostos.

Assim, uma lâmpada só pode estar acesa ou apagada; uma torneira só pode estar aberta ou fechada; uma fonte só pode ter ou não ter tensão na sua saída; uma pergunta só pode ter como resposta verdadeiro ou falso (sim ou não).

Dizemos de uma maneira simples que, na Álgebra de Boole, as variáveis lógicas só podem adquirir dois estados:

0 ou 1

Verdadeiro ou Falso

Aberto ou Fechado

Alto ou Baixo (HI ou LO)

Ligado ou Desligado

Na eletrônica digital, partimos justamente do fato de que um circuito só pode trabalhar com dois estados possíveis, ou seja, podemos encontrar neste circuito dois tipos de sinais: presença do sinal ou ausência do sinal o que faz com que ela se adapte perfeitamente aos princípios da Álgebra de Boole.

Tudo que um circuito lógico digital pode fazer está previsto pela Álgebra de Boole. Desde as mais simples operações ou decisões, como acender um LED quando dois sensores são ativados de determinada forma, ou quando uma tecla é pressionada até, girar no espaço uma imagem tridimensional.

Partindo de princípios simples, com regras muito bem definidas, Boole mostrou que desde operações simples como somar e subtrair até as mais complexas, que envolvem os cálculos realizados pelos computadores, podem ser realizadas com base no conceito de sim ou não ou ausência ou presença de um sinal.

2.2 - Os níveis lógicos

Partimos então do fato de que nos circuitos lógicos digitais só podemos encontrar duas condições possíveis: presença e ausência de sinal. Fazemos isso para definir alguns pontos importantes para o nosso entendimento.

Nos circuitos digitais, a presença de uma tensão será indicada como 1 ou HI (de HIGH ou Alto), enquanto que a ausência de uma tensão será indicada por 0 ou LO (de LOW ou baixo).

O 0 ou LO será sempre uma tensão nula, ou ausência de sinal num ponto do circuito, mas o nível lógico 1 ou HI pode variar conforme o circuito considerado, conforme mostra a figura 22.

Figura 22 – Nos circuitos lógicos temos apenas dois níveis de tensão possíveis

Na maioria de equipamentos digitais, denominados TTL, a tensão usada na alimentação de todos os circuitos lógicos é de 5 volts, assim o nível 1 ou HI de seus circuitos será sempre uma tensão de 5 volts.

No cerne de alguns processadores e em outras aplicações alimentadas por bateria pode ser encontrada uma tensão de alimentação menor, da ordem de 3,3 volts e até menos, o que significa que nestes circuitos um nível 1 ou HI sempre corresponderá a uma tensão desse valor.

Existem ainda circuitos digitais que empregam componentes de tecnologia CMOS e que podem ser alimentados por tensões entre 3 e 15 volts tipicamente. Nestes casos, conforme mostra a figura 23, um nível lógico 1 ou HI poderá ter qualquer tensão entre 3 e 15 volts, dependendo apenas a alimentação usada.

Figura 23 – Níveis de tensão em alguns tipos de circuitos digitais

Na verdade, a ideia de se associar a presença de tensão ao nível 1 a ausência ao nível 0 é uma mera questão de convenção. Nada impede que adotemos um critério inverso e projetemos os circuitos sem que isto impeça seu funcionamento normal.

Assim, quando dizemos que ao nível alto (1) associamos a presença de tensão e ao nível baixo a ausência de tensão (0) estamos falando do que se denomina "lógica positiva".

Se associarmos o nível baixo ou 0 a presença de tensão e o nível alto ou 1 à ausência de tensão, estaremos falando de uma "lógica negativa", conforme mostra a figura 24.

Figura 24 – Exemplo de lógica negativa

Para não causar nenhum tipo de confusão nos nossos leitores, todo o nosso curso tratará exclusivamente da lógica positiva, assim como dos dispositivos eletrônicos tomados como exemplo.

Veja então que, na nossa lógica podemos associar os seguintes estados de um circuito aos valores 0 e 1:

0 volt

Falso

Desligado

Nível baixo ou LO (De low, "baixo" em inglês.)

5 volts (ou outra tensão positiva, conforme o circuito)

Verdadeiro

Ligado

Nível alto ou HI (De high, "alto" em inglês.)

2.3 - Operações Lógicas

No dia-a-dia estamos acostumados a realizar diversos tipos de operações algébricas, sendo as mais comuns as que envolvem números, ou seja, quantidades que podem variar ou variáveis. Assim, estamos muito mais acostumados a trabalhar com a Álgebra Clássica.

Partindo desta ideia, podemos representar uma soma como:

Y = A + B

Onde o valor que vamos encontrar para Y depende dos valores que vamos atribuir as letras A e B.

Dizemos que temos neste caso uma função algébrica e que o valor Y é a variável dependente, pois seu valor vai depender justamente dos valores de A e B são as variáveis independentes.

Na eletrônica digital, entretanto, existem operações mais simples do que a soma, e que podem ser perfeitamente implementadas levando em conta a utilização da Álgebra Booleana.

Na verdade, é a associação de determinada forma das operações simples que nos leva ao comportamento muito complexo de muitos circuitos digitais, conforme mostra a figura 25.

Figura 25 – Diversas operações simples resultam numa operação complexa

Partindo de um exemplo, podemos tomar um circuito de processamento digital que é formado por uma grande quantidade de pequenos blocos, denominados portas ou funções, como mostra a figura 26, em que temos entradas e saídas.

Figura 26 – Blocos contendo portas ou funções

O que vai aparecer na saída é determinado pela função e pelo acontece nas entradas. Em outras palavras, a resposta que cada circuito lógico, para uma determinada entrada ou entradas, depende do que ele é ou de que "regra booleana" ele segue.

Por este motivo, depois de definir estas operações lógicas, associando-as à Álgebra de Boole, vamos estudá-las uma a uma.

2.3.1 – Raciocínio Lógico e notações

No trabalho com eletrônica digital, quando tratamos do funcionamento dos circuitos básicos, como estamos fazendo aqui, é importante que o leitor se familiarize com o jargão usado ao se tratar do raciocínio lógico.

Assim as questões relacionadas com o raciocínio lógico são sempre formadas por proposições que provam, dão razão ou suporte, consistindo em afirmações que expressam um pensamento de sentido denominado completo.

Essas proposições, conforme vimos ao tratar da Álgebra de Boole, têm, sempre duas possibilidades: elas podem ter um sentido positivo ou negativo.

Podemos então dizer:

José acende uma lâmpada (sentido positivo)

Mário não usa o osciloscópio (sentido negativo)

Os dois exemplos caracterizam uma afirmação ou proposição.

Partindo daí, chegamos à base das estruturas lógicas que consiste em saber o que é verdade ou mentira, ou usando um jargão mais apropriado, o que é verdadeiro ou falso.

Assim, existem alguns princípios básicos que regem as proposições, cujos resultados devem ser sempre os mesmos.

a) Princípio da contradição

Nenhuma proposição pode ser, ao mesmo tempo, falsa e verdadeira.

b) Terceiro excluído

Dadas duas proposições lógicas contraditórias, somente uma delas é verdadeira. Uma proposição ou é verdadeira ou falsa, não existindo um terceiro valor lógico. Para a proposição “ele usa o osciloscópio” ou “ele não usa o osciloscópio”, não existe um meio termo.

No estudo da lógica, e também da eletrônica digital, é comum o uso dos Conectivos Lógicos. Estes são símbolos que unem das proposições uma a outra, ou ainda as transformam numa terceira proposição. Os principais Conectivos Lógicos são: o:

(~) “não”: negação.

(?) “e”: conjunção.

(V) “ou”: disjunção.

(→) “se...então”.

Condicional (↔).

“se e somente se”: bicondicional.

Todos estes conectivos vão se traduzir em funções lógicas, ou circuitos que funcionam seguindo as leis da lógica que veremos a partir de agora.

Veja que existe uma notação para a lógica que é diferente da usada em eletrônica digital e também em matemática. Ao estudar as funções, a partir de agora, para facilitar o entendimento dos leitores, incluindo os que têm formação em matemática, daremos as notações possíveis.

A notação matemática vem da teoria dos conjuntos. Trata-se do ramo da matemática que estuda os conjuntos ou coleções de elementos.

Esta teoria foi inicialmente estudada por Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870 e hoje é adotada nos cursos de matemática do mundo inteiro.

A lógica de classes, que veremos mais adiante, pode ser considerada um pequeno fragmento da teoria dos conjuntos.

Nessa lógica temos as seguintes notações equivalentes para a lógica e para a teoria dos conjuntos:

A ∩ B equivale a a ˄ b. (A intersección B)
A U B equivale a a ˅ b. (A unión B)
A ⸦ B equivale a a → b
a Є P Equivale a p(a)
Ø Equivale a F(FALSO)
U Equivale a V(VERDADERO)
Ā Equivale a ~a

2.4 - Função Lógica NÃO ou Inversora

Encontramos também nos manuais a indicação desta função com a palavra inglesa correspondente que é NOT.

O que esta função faz, é negar uma afirmação, ou seja, como em Álgebra Booleana só existem duas respostas possíveis para uma pergunta, esta função "inverte" a resposta, ou seja, a resposta é o "inverso" da pergunta. O circuito que realiza esta operação é denominado inversor.

Se a entrada for "sim" ou nível lógico 1, a saída será "não", ou nível lógico 0.

Levando em conta então que este circuito diz sim, quando a entrada é não, ou que apresenta nível 0, quando a entrada 1 e vice versa, podemos associar a ele uma espécie de tabela que será de grande utilidade sempre que estudarmos qualquer tipo de circuito ou função lógica.

Esta tabela nos mostra o que ocorre com a saída da função quando colocamos na entrada todas as combinações possíveis de níveis lógicos.

Dizemos que se trata de uma "tabela verdade" (nos manuais em inglês esta tabela aparece com o nome de "Truth Table"), e para a porta NOT ou inversora ela é mostrada a seguir:

Entrada	Saída
0	1
1	0

Os símbolos adotados para representar esta função são mostrados na figura 27.

Figura 27 – Símbolos para a função NÃO – em (a) o mais comum e em (b) a simbologia adotada pelo IEEE.

O adotado normalmente em nossas publicações, e que será usado nesse curso, é o mostrado (a), mas existem muitos manuais técnicos e mesmo diagramas em que são adotados outros. Os leitores devem conhecer todos, dada a possibilidade de se ter em mãos manuais de equipamentos de procedências as mais diversas.

Sendo A a entrada e A a saída podemos escrever a equação booleana do inversor como:

S = /A (Lembando que o sinal “ / “ = invertido ou negação)

Onde:

S é a saída

A a entrada

Esta função pode ser simulada por um circuito simples que o leitor pode facilmente entender e que é mostrado na figura 28.

Figura 28 – Circuito que simula uma função NÃO

O mesmo circuito, utilizando um LED é mostrado na figura 29.

Figura 29 – Circuito Equivalente com LED

Neste circuito temos uma lâmpada, que acesa, indica o nível 1 na saída, e apagada, indica o nível 0 na saída. Quando a chave está aberta, indicando que a entrada é nível 0, a lâmpada está acesa indicando que a saída é nível 1.

Por outro lado, quando a chave é fechada o que representa uma entrada 1, a lâmpada apaga indicando que a saída é 0.

Basta então lembrar que:

Entrada:

Chave aberta = 0

Chave fechada = 1

Saída:

Lâmpada apagada = 0

Lâmpada acesa = 1

Na figura 30 temos um circuito com relé para simular esta função. A carga pode ser um LED em série com um resistor de 470 ohms ou uma lâmpada e as baterias podem ser de 6 V.

Figura 30 - Função inversor com relé

2.5 - Função Lógica E (AND)

A função lógica E, também conhecida pelo seu nome em inglês AND, pode ser definida como aquela em que a saída será 1 se, e somente se, todas as variáveis de entrada forem 1.

Veja que neste caso, as funções lógicas E podem ter duas, três, quatro, ou quantas entradas quisermos, sendo representada pelos símbolos mostrados na figura 31.

Figura 31- Os símbolos da função lógica E (AND)

As funções lógicas também são chamadas de "portas" ou "gates" (do inglês), já que correspondem a circuitos que podem controlar ou deixar passar os sinais sob determinadas condições.

Tomando como exemplo uma porta ou função E de duas entradas, podemos escrever a seguinte tabela verdade:

A equação Booleana para esta função é:

S = A.B

Onde:

S é a saída

A e B são as entradas

Na figura 32 mostramos o modo de se simular o circuito de uma porta E usando chaves e uma lâmpada comum.

Figura 32 – Simulação de uma porta E com lâmpada

Também podemos simular esta função com LED, conforme mostra a figura 33.

Figura 33 – Circuito de simulação com LED

Veja que é preciso que uma S1 E S2 estejam fechadas para que a saída (lâmpada ou LED) seja ativada.

Para uma porta E de três entradas podemos escrever a seguinte tabela verdade:

Para que a saída seja 1, é preciso que todas as entradas sejam 1.

Veja ainda o leitor que para uma porta E de 2 entradas, temos 4 combinações possíveis para os sinais aplicados. Para uma porta E de 3 entradas, temos 8 combinações possíveis para o sinal de entrada.

Para uma porta de 4 entradas, temos 16 combinações possíveis de entradas e assim por diante.

2.6 - Função lógica OU

A função OU, ou ainda OR (do inglês), é definida como aquela em que a saída estará no nível alto se uma, ou mais de uma das entradas, estiver no nível alto. Esta função é representada pelos símbolos mostrados na figura 34.

Figura 34 – A função lógica OU (OR)

O símbolo adotado normalmente nas nossas publicações é o mostrado em (a). No entanto, existem diagramas e manuais em que a representação adotada é a mostrada em (b).

Para uma porta OU de duas entradas podemos elaborar a seguinte tabela verdade:

Veja então que a saída estará no nível 1 se uma OU outra entrada estiverem no nível 1.

A equação booleana será:

S = A + B

Um circuito simples com chaves e lâmpada para simular esta função

Figura 35 – Circuito simples de porta OU usando lâmpada

Quando uma ou outra chave estiver fechada, (entrada 1) a lâmpada receberá corrente (saída 1), conforme desejamos.

Também, nesse caso, podemos simular a função com outros componentes comuns como transistores e relés.

Na figura 36 temos um circuito de simulação usando LED em lugar da lâmpada indicadora.

Figura 36 - Função OU com LED

Para mais de duas variáveis podemos ter portas com mais de duas entradas. Para o caso de uma porta OU de três entradas teremos a seguinte tabela verdade:

Observe que, nessa função, teremos a saída no nível abaixo com apenas uma combinação possível das entradas: todas as entradas no nível baixo.

2.7 - Função NÃO-E (NAND)

As funções E, OU e NÃO (inversor) são a base de toda a Álgebra Booleana e todas as demais podem ser consideradas como derivadas delas.

Assim, uma primeira função importante, derivada das anteriores, é a obtida pela associação da função E com a função Não, ou seja, a negação da função E que é denominada Não-E ou do inglês NAND.

Na figura 37 temos os símbolos adotados para representar esta função.

Figura 36 – A função Não-E ou NAND

Observe a existência de um pequeno círculo na saída da porta para indicar a negação no caso da simbologia que adotamos (a). O triângulo na saída do símbolo mostrado em (b) indica a negação da função.

A equação booleana para esta função será escrita como:

S = /( A + B )

Onde:

S é a saída

A e B são as entradas

O traço sobre ou na letaral da soma indica a negação

Podemos dizer que para a função NAND a saída estará no nível 0 se, e somente se as entradas estiverem no nível 1.

A tabela verdade para uma porta Não-E ou NAND de duas entradas é a seguinte:

Na figura 37 temos um circuito simples com chaves que simula esta função.

Figura 37 – Circuito com lâmpada que simula uma porta ou função NAND

A mesma função, simulada com um circuito usando LED é mostrada na figura 38.

Figura 38 – Simulação da função NAND com LED

Veja que a lâmpada (ou LED) só apagará (saída 0) quando as duas chaves estiverem fechadas (1) curto-circuitando assim sua alimentação. O resistor é usado para limitar a corrente da fonte.

Também neste caso podemos ter a função NAND com mais de duas entradas. Para o caso de 3 entradas teremos a seguinte tabela verdade:

A equação booleana para uma função NAND ou Não-E de 3 entradas será escrita como:

S = /(A + B + C)

2.8 - Função Não-Ou (NOR)

Esta é a negação da função OU, obtida pela associação da função OU com a função Não ou inversor. O termo inglês usado para indicar esta função é NOR, e seus símbolos são mostrados na figura 39.

Figura 39 – Função Não-OU ou NOR

Em (a) temos a simbologia mais adotada em nossas publicações, e em (b) um segundo tipo de simbologia que pode ser encontrada em muitos manuais técnicos.

Podemos definir sua ação da seguinte forma: a saída será 1 se, e somente se, todas as variáveis de entrada forem 0.

Uma tabela verdade para uma função NOR de duas entradas é mostrada a seguir:

A equação booleana para esta função é:

S = /(A + B)

Um circuito simples usando chaves e lâmpada para simular esta função é mostrado na figura 40.

Figura 40 – Circuito NOR com lâmpada

Neste caso também podemos elaborar uma versão com LED. Conforme mostra a figura 41..

Figura 41- Função NOR com LED indicador

Observe que a lâmpada (ou LED) só se mantém acesa (nível 1) se as duas chaves (S1 e S2) estiverem abertas (nível 0).

Como nos demais exemplos, podemos implementar essa função experimentalmente usando relés, transistores e outros componentes comuns.

Da mesma forma que nas funções anteriores podemos ter portas NOR com mais de duas entradas. Para o caso de três entradas teremos a seguinte tabela verdade:

Observe que, para essa função todas as saídas estarão no nível alto exceto quando as três entradas estiverem, ao mesmo tempo, no nível baixo.

2.9 - Função Ou-exclusivo (Exclusive-OR)

Uma função de grande importância para o funcionamento dos circuitos lógicos digitais, e especificamente aqueles que realizam operações matemáticas, como os microprocessadores e microcontroladores, é a denominada Ou-exclusivo, ou usando o termo inglês, "Exclusive-Or".

Esta função tem a propriedade de realizar a soma de valores binários ou ainda encontrar o que se denomina "paridade" de valores binários, o que será visto futuramente.

Na figura 42 temos os símbolos adotados para esta função.

Figura 42 – A função OU-exclusivo ou Exclusive-OR

Da mesma forma que nos casos anteriores, temos simbologias diferentes que podem ser encontradas nos manuais e diagramas. O leitor deve conhecer as duas simbologias, para poder trabalhar eficientemente com circuitos digitais.

Podemos definir sua ação da seguinte forma: a saída será 1 se, e somente se, as variáveis de entrada forem diferentes. Isso significa que, para uma porta Exclusive-OR de duas entradas teremos saída 1 se as entradas forem 0 e 1 ou 1 e 0, mas a saída será 0 se as entradas forem ambas 1 ou ambas 0, conforme mostra a seguinte tabela verdade:

A equação booleana para esta função é:

X = (A x /B) + (/A x B)

Esta função é derivada das demais no sentido de que podemos "montá-la" usando portas conhecidas, conforme mostra a figura 43.

Figura 43 – Usando inversores, portas AND e uma porta OR para obter uma função OU-Exclusivo

Se bem que esta função tenha seu próprio símbolo, e possa ser considerada um "bloco" independente nos projetos, podemos sempre implementá-la com um circuito equivalente como o mostrado acima.

Na verdade, conforme veremos nas lições futuras existem diversos circuitos integrados usados em aplicações digitais que já levam em seu interior esta função.

2.10 - Função Não-Ou exclusivo ou coincidência (Exclusive-NOR)

Podemos considerar esta função como o "inverso" do Ou-exclusivo. Sua denominação em inglês é‚ Exclusive-NOR sendo representada pelo símbolo mostrado na figura 44.

Figura 44 – A função Não-Ou Exclusivo ou Exclusive-NOR

Observe o círculo que indica a negativa da função anterior, se bem que essa terminologia não seja apropriada neste caso.

No caso da simbologia mostrada em (b) o triângulo na saída indica a negação.

Esta função pode ser definida como a que apresenta uma saída igual a 1 se, e somente se as variáveis de entrada forem iguais.

Uma tabela verdade para esta função é a seguinte:

Podemos implementar esta função usando outras já conhecidas conforme mostra a figura 45.

Figura 45 – Implementação da função Não-Ou Exclusivo a partir de outras funções

Também observamos que podemos encontrar essa função já fazendo parte de muitos circuitos integrados destinados à aplicações digitais.

2.11 - Propriedades das operações lógicas

As portas realizam operações com os valores binários aplicados às suas entradas.

Assim, conforme vimos, podemos representar estas operações por uma simbologia apropriada facilitando assim o projeto dos circuitos e permitindo visualizar melhor o que ocorre quando associamos muitas funções.

No entanto, para saber associar as diversas portas e com isso realizar operações mais complexas é preciso conhecer as propriedades que as operações apresentam.

Exatamente como no caso das operações com números decimais, as operações lógicas com a Álgebra Booleana se baseiam numa série de postulados e teoremas algo simples.

Os principais são dados a seguir e prová-los fica por conta dos leitores que desejam ir além. Para entender, entretanto, seu significado não é preciso saber como provar sua validade, mas sim memorizar seu significado.

Partindo das representações lógicas que já estudamos, podemos enumerar as seguintes propriedades das operações lógicas:

a) Leis da Tautologia

“A repetição por soma ou multiplicação não alteram o valor real de um elemento.”

O circuito mostrado na figura 46 corresponde a esta lei.

Figura 46 - Tautologia

a + a = a

a x a = a

Notação matemática (teoria dos conjuntos)

a ∩ a = a

a U a = a

Notação lógica:

a Λ a = a

a V a = a

b) Leis da Comutação

“A conjunção e a disjunção não são afetadas pela mudança sequencial”.

A figura 47 mostra os diagramas correspondentes a esta função.

Figura 47 – Diagramas correspondentes as leis da comutação

a + b = b + a

a x b = b x a

Notação matemática:

a U b = b U a

a ∩ b = b ∩ a

Notação lógica:

a V b = b V a

a Λ b = b Λ a

c) Leis da Associação

“O agrupamento não afeta a disjunção ou a conjunção”.

A figura 48 mostra os circuitos equivalentes.

Figura 48 – Leis da associação

a + (b + c) = (a + b) + c

a x (b x c) = (a x b) x c

Notação matemática:

a U (b U c) = (a U b) U c

a ∩ (b ∩ c) = (a ∩ b) ∩ c

Notação lógica:

a V (b V c) = (a V b) V c

a Λ (b Λ c) = (a Λ b) Λ c

a) Leis da Distribuição

“Um elemento é adicionado a um produto pela adição do elemento a cada membro do produto, e uma soma é multiplicada por um elemento pela multiplicação de cada elemento da soma por este elemento”.

O diagrama do circuito equivalente é mostrado na figura 49.

Figura 49 – Leis da distribuição

a + (b x c) = (a + b) x (a + c)

a x (b + c) = (a x b) + a x c)

Notação Matemática:

a U (b ∩ c) = (a U b) ∩ (a U c)

a ∩ (b U c) = (a ∩ b) U (a ∩ c)

Notação Lógica:

a V (b Λ c) = (a V b) Λ (a V c)

a Λ (b V c) = (a Λ b) V (a Λ c)

b) Leis da Absorção

“A disjunção de um produto por um de seus membros é equivalente a este membro. A conjunção de uma soma por um de seus membros é equivalente a este membro”.

O circuito lógico equivalente é mostrado na figura 50.

Figura 50 – Leis da absorção

a + (a x b) = a

a x (a + b) = a

Notação matemática:

a U (a ∩ b) = a

a ∩ (a U b) = a

Notação lógica:

a V (a Λ b) = a

a Λ (a V b) = a

c) Leis da Classe Universo

“A soma consistindo de um elemento e a classe universo é equivalente a classe universo. O produto consistindo de um elemento e a classe universo é equivalente ao elemento”.

Os circuitos equivalentes são dados na figura 51.

Figura 51 – Leis da classe universo

a + 1 = 1

a x 1 = a

Notação matemática:

a U 1 = 1

a ∩ 1 = a

Notação lógica:

a V 1 = 1

a Λ 1 = a

d) Leis da Classe Nulo

“A soma consistindo de um elemento e a classe nulo é equivalente ao elemento. O produto consistindo de um elemento e a classe nulo é equivalente à classe nulo”.

As funções equivalentes são mostradas na figura 52.

Figura 52 – Leis da classe nulo

a + 0 = a

a x 0 = 0

Notação matemática:

a U 0 = a

a ∩ 0 = 0

Notação lógica:

a V 0 = a

a Λ 0 = 0

e) Leis da Complementação

“A soma consistindo de um elemento e o seu complemento é equivalente à classe universo. O produto consistindo de um elemento e seu complemento é equivalente à classe nulo”.

Na figura 53 temos a representação dessas leis.

Figura 53 – Leis da complementação

f) Leis da Contraposição

“Se um elemento a é equivalente ao complemento de um elemento b isso implica que o elemento b é equivalente ao complemento do elemento a”.

A figura 54 representa o diagrama lógico equivalente.

Figura 54 – Leis da contraposição

g) Lei da Dupla Negação

“O complemento da negação de um elemento é equivalente ao elemento”.

A figura 55 mostra o circuito lógico equivalente.

Figura 55 - Lei da dupla negação

Notação matemática:

a = a’C

Notação lógica:

a = -a’

h) Leis da Expansão

“A disjunção de um produto composto dos elementos a e b, e um produto composto do elemento a e o complemento do elemento do elemento b, é equivalente ao elemento a. A conjunção de uma soma composta dos elementos a e b, e a soma composta do elemento a e o complemento do elemento b, é equivalente ao elemento a”.

A figura 56 mostra os circuitos lógicos equivalentes.

Figura 56 – Leis da expansão

Notação matemática:

(a ∩ b) U (a ∩ b’) = a

(a U b) ∩ (a U b’) = a

Notação lógica:

(a Λ b) V (a Λ ~b) = a

(a V b) Λ (a V ~b) = a

i) Leis da Dualidade

“O complemento de uma soma composta dos elementos a e b é equivalente a conjunção do complemento do elemento a e o complemento do elemento b. O complemento de um produto composto pelos elementos a e b é equivalente a disjunção do complemento do elemento a e o complemento do elemento a”.

Na figura 57 temos os circuitos lógicos equivalentes.

Figura 57 – Lei da dualidade

(A + B)' = /A x /B

(AxB)' = /A + /B

Notação matemática

(A U B)' = A' ∩ B'

(A ∩ B)' = A' U B'

Notação lógica:

~(A V B) = ~A Λ ~B

~(A Λ B) = ~A V ~B

Relações Booleanas

Damos a seguir algumas relações importantes que o leitor deve memorizar.

a) Ponto Identidade

Adição:

a + 0 = a

a + 1 = 1

a + a = a

Multiplicação

0 x a = 0

1 x a = a

a x a = a

b) Comutativa

Adição:

(a + b) = (b + a)

multiplicação:

a x b = b x a

c) Associativa

Adição:

(a + b) + c = a + (b + c)

Multiplicação

(a x b) x c = a x (b x c)

d) Distributiva

a + (b x c) = a x (b + c)

a + b x c = (a + b) x (a + c)

e) Absorção

a x (a + b) = a + a x b = a

Teoremas de De Morgan:

“Aplicando a operação NÃO a uma operação E, o resultado obtido é igual ao da operação OU aplicada aos complementos das variáveis de entrada”.

/(A . B) = /A + /B

“Aplicando a operação Não a uma operação OU o resultado é igual ao da operação E aplicada aos complementos das variáveis de entrada”.

/(A + B) = /A . /B

2.12 - Fazendo tudo com portas NAND ou Não-OU

As portas Não-E, pelas suas características, podem ser usadas pra se obter qualquer outra função que estudamos. Esta propriedade torna essas portas blocos universais nos projetos de circuitos digitais já que, na forma de circuitos integrados, as funções NAND são fáceis de obter e, além disso, baratas.

A seguir, vamos mostrar de que modo podemos obter as funções estudadas simplesmente usando portas NAND.

Inversor

Para obter um inversor a partir de uma porta NAND basta unir suas entradas ou colocar uma das entradas no nível lógico 1, conforme mostra a figura 58.