Como funciona a numeração binária (ART631)

Eis um artigo muito importante para quem deseja aprender eletrônica digital, ou seja, a eletrônica dos computadores. Ele até pode ser usado como apostila em cursos técnicos ou de iniciação tecnológica pela maneira simples e didática como aborda o assunto. Recomendamos aos alunos e professores.

Os Computadores, microprocessadores, microcontroladores operam utilizando lógica digital binária. Assim, a representação de todos os valores nesses equipamentos e componentes é feita com base na numeração binária. Veja como isso é feito e como ler números binários nas entradas e saídas dos circuitos digitais.

Os circuitos eletrônicos não possuem dedos. É evidente também que não seria muito fácil projetar circuitos que sejam capazes de reconhecer 10 níveis de uma tensão ou de outra grandeza elétrica sem o perigo de que, qualquer pequeno problema faça-os o causar confusão.

Uma pequena variação da tensão nestes circuitos pode mudar um 3 para 4 ou vice-versa, afetando os cálculos que ele tenha que realizar.

Muito mais simples para os circuitos eletrônicos é trabalhar com um sistema de numeração que esteja mais de acordo com o seu princípio de funcionamento e isso realmente é feito.

Um circuito eletrônico pode ter ou não ter corrente, pode ter ou não ter tensão, pode receber ou não um pulso elétrico. Também é muito mais fácil diferenciarmos dois estados de elementos indicadores como uma lâmpada acesa ou apagada, uma campainha em silêncio ou tocando.

Ora, os circuitos eletrônicos são mais apropriados para operar com sinais que tenham duas condições possíveis, ou seja, que representem dois dígitos ou algarismos.

Também podemos dizer que as regras que regem o funcionamento dos circuitos que operem com apenas duas condições possíveis são muito mais simples.

Houve época em que se tentou trabalhar com as quantidades na forma original analógica, com a criação de computadores capazes de realizar cálculos complexos, mas com o tempo ficou claro que trabalhar com duas condições possíveis apenas para os circuitos, adotando uma lógica digital, era muito mais vantajoso, por diversos motivos.

Assim, o sistema adotado nos circuitos eletrônicos digitais modernos é o sistema binário ou de base 2 onde apenas dois dígitos são usados, correspondentes a duas condições possíveis de um circuito: 0 e 1.

A idéia básica é a mesma usada na representação de quantidades no sistema decimal: atribuir pesos aos dígitos conforme sua posição no número. Para entendermos melhor como tudo isso funciona, vamos tomar como exemplo o valor 1101 que em binário representa o número 13 decimal (veja nota do autor) e ver como isso ocorre.

O primeiro dígito da direita nos indica que temos uma vez o peso deste dígito ou 1. O zero do segundo dígito da direita para a esquerda indica que não temos nada com o peso 2.

Agora o terceiro dígito da direita para a esquerda e que tem peso 4 é um 1, o que indica que temos "uma vez quatro". Finalmente o primeiro dígito da esquerda que é um 1, e que está na posição de peso 8, nos diz que temos "uma vez oito". Somando uma vez oito, com uma vez quatro e uma vez um, temos o total que é justamente a quantidade que conhecemos em decimal como treze.

Veja então que, conforme mostra a figura 1 que na numeração binária, os dígitos vão tendo pesos, da direita para a esquerda que são potencias de 2, ou seja, dois elevado ao expoente zero que é um, dois elevado ao expoente 1 que é 2; dois ao quadrado que é 4 e assim por diante.

Os dígitos têm pesos que são potências de 2.

Para o leitor basta lembrar que a cada dígito que nos deslocamos para a esquerda seu peso dobra, conforme mostra a figura 2.

A cada dígito deslocado para a esquerda, seu peso dobra.

Como não existe um limite para os valores dos pesos, isso significa que é possível representar qualquer quantidade em binário, por maior que seja, simplesmente usando a quantidade apropriada de dígitos.

Para 4 dígitos podemos representar números até 15; para 8 dígitos podemos ir até 255; para 16 dígitos podemos ir até 65 535 e assim por diante.

O leitor deve lembrar-se desses valores limites para 4, 8 e 16 dígitos de um número binário pois eles têm uma grande importância nas aplicações digitais modernas.

Tabela com potências de 2

A seguir damos a representação binária dos números decimais até 17 para que o leitor tenha uma idéia de como tudo funciona:

Para o leitor que pretende entender de eletrônica digital aplicada aos computadores, equipamentos industriais e mecatrônicos existem momentos em que é preciso saber converter uma indicação em binário para o decimal correspondente.

Podemos dar como exemplo o caso de certas placas que são usadas no diagnóstico de computadores e de máquinas industriais as quais possuem um conjunto de LEDs que acendem indicando um número que corresponde a um código de erros. Os LEDs apagados indicam o algarismo 0 e os LEDs acesos indicam o algarismo 1.

Vamos supor que num diagnóstico a sequência de acendimento dos LEDs seja 1010110. De início o leito precisa saber por onde começar a leitura ou seja, se o de menor peso é o da direita ou da esquerda.

Nas indicações dadas por instrumentos ou mesmo na representação da valores binários, como por exemplo na saída de um circuito é preciso saber qual dos dígitos tem maior peso e qual ter menor peso.

Isso é feito com uma sigla que é adotada normalmente e que refere-se ao dígito, no caso denominado bit.

Assim, para o dígito de menor peso ou bit menos significativo é adotada a sigla LSB (Least Significante Bit) e para o mais significativo é adotada a sigla MSB (Most Significant Bit), conforme mostra a figura 3.

LBS = dígito de menor peso; MSB = dígito de maior peso.

O que fazemos é somar os valores dados pelos dígitos multiplicados pelo peso de sua posição. No caso do valor tomado como exemplo, 1010110, temos:

Somando os valores temos:

64 + 16 + 4 + 2 = 86

O valor decimal de 1010110 é 86, ou usando a notação mais apropriada:

10101102 = 8610

Observe que, para fazer uma conversão, tudo que o leitor tem de fazer é lembrar que a cada dígito que saltamos para a esquerda seu peso dobra na sequência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc.

Na prática também pode ocorrer o problema inverso que é a transformação de um valor expresso em decimal (base 10) para a base 2 ou binário. Para esta transformação podemos fazer uso de algoritmo muito simples que memorizado pelo leitor pode ser de grande utilidade, dada sua praticidade.

Para os que não sabem, algoritmo nada mais é do que uma sequência de operações que seguem uma determinada regra e que permite realizar uma operação mais complexa. Quando você soma os números um sobre o outro (da mesma coluna) ao fazer uma soma e passar para cima os dígitos que excedem o 10, fazendo o conhecido "vai um" você nada mais está fazendo do que usar um algoritmo.

Os microprocessadores dos computadores, máquinas industriais, equipamentos "inteligentes" baseados em DSPs e microprocessadores usam muitos tipos de algoritmos quando fazem suas operações, se bem que a maioria não precisa ser conhecida dos leitores agora.

Vamos ver então como usar o algoritmo para a conversão de um decimal para binário, como por exemplo o 125. O que fazemos é uma série de divisões sucessivas, conforme mostra a figura 4.

Série de divisões sucessivas.

Vamos dividindo os números por 2 até o ponto em que chegamos a um valor menor que 2 e que portanto não mais pode ser dividido. O resultado desta última divisão, ou seja, seu quociente é então o primeiro dígito binário do número convertido. Os demais dígitos são obtidos lendo-se os restos da direita para a esquerda da série de divisões que realizamos. Tudo muito simples e rápido.

BINÁRIOS MENORES QUE 1

Para o leitor talvez seja difícil entender como usando quantidades que só podem ser inteiras, como dado pela definição de digital, seja possível representar quantidades menores que um, ou seja, números "quebrados" ou fracionários. É claro que isso é possível na prática, pois se assim não fosse os computadores, equipamentos digitais de controle e automação e as calculadoras não poderiam realizar qualquer operação com estes números e sabemos que isso não é verdade.

O que se faz é usar um artifício que consiste em empregar potências negativas de um número inteiro para representar quantidades que não são inteiras. Dessa forma é possível usar dígitos binários para representar quantidades fracionárias sem problemas. Vamos dar um exemplo tomando como exemplo o número 0,01101 em binário .

A própria existência de um "0," já nos sugere que se trata de um número menor que 1 e portanto fracionário.

Ponto e Vírgula Decimal

(*) Alertamos que a separação da parte inteira da parte "quebrada" de um número, no nosso país é feita por uma "virgula" enquanto que em outras países, como nos de língua inglesa, é feita por um ponto. Assim, falamos em vírgula decimal enquanto que eles falam em ponto decimal.

O que ocorre é que os dígitos deste número têm pesos que correspondem à potências de 2 negativas que nada mais são do que frações, conforme a seguinte sequência:

Somando os valores relativos temos:

0,25 + 0,0625 + 0,03125 = 0,625

O número decimal representado é portanto 0,625. Veja que, usando tantos dígitos quantos sejam necessários podemos representar com qualquer precisão um numero decimal menor que 1.

FORMAS DIFERENTES DE USAR O SISTEMA BINÁRIO

A utilização de circuitos eletrônicos com determinadas características e a própria necessidade de se adaptar o sistema binário à representação de valores que sejam convertidos rapidamente para o decimal e mesmo outros sistemas, levou ao aparecimento de algumas formas diferentes de utilização dos binários denominados "puros".Estas formas são encontradas em diversos tipos de equipamentos digitais incluindo os próprios computadores.

Sistema BCD (Decimal Codificado em Binário)

BCD é a abreviação de Binary Coded Decimal e se adapta melhor aos circuitos digitais por características que ficarão mais claras no decorrer de nosso curso. O que se faz é transformar cada dígito decimal de um número em um grupo de quatro dígitos binários (bits) independentemente do valor total do número que vai ser representado.

Partimos então da seguinte tabela:

Assim, se quisermos representar em BCD o número 23,25 não o convertemos da forma convencional por divisões sucessivas mas sim, tomamos cada dígito decimal e o convertemos no BCD equivalente conforme se segue:

Veja então que, para cada dígito decimal sempre teremos quatro dígitos binários ou bits e também que os valores 1010, 1011, 1100, 1101 e 1111 não existem neste código. Esta representação foi muito interessante quando as calculadoras se tornaram populares pois podia ser usada para todas as operações com números comuns e os 5 códigos que não eram usados dos valores que não existiam forem adotados para indicar as operações! (figura 5).

Codificação dos números no sistema BCD.

Usando representações desta forma, operavam os primeiros computadores que muito apropriadamente eram chamados de computadores de "4 bits".

Outros Códigos:

Outros códigos binários, que são importantes nas aplicações industriais, são o código biquinário, em que cada dígito tem um peso, e são sempre usados 7 bits para sua representação e o código Gray que aparece em diversas versões.

O código Gray se caracteriza pelo fato da passagem de qualquer número para o seguinte sempre ser feita com a mudança de um único dígito. Assim, por exemplo quando passamos de 0111 (7 em decimal) para 1000 (8 em decimal) os quatro dígitos mudam. No código Gray a passagem do 7 para 8 muda apenas um dígito pois o 7 ‚ 0100 e o 8 ‚ 1100. Na tabela abaixo temos alguns valores decimais, e os correspondentes binários e no código Gray.

No código 9876543210, temos uma decodificação de "uma saída de 10" ou seja, um único bit será 1 enquanto os demais serão 0, conforme o dígito a ser representado, conforme a seguinte tabela:

Tabela: código 9876543210

Podemos ainda citar os códigos de paridade de bit e o código de excesso 3 (XS3) que podem ser encontrados em aplicações envolvendo circuitos digitais. Finalmente, temos códigos mais complexos como o ASCII (American Standard Code for Information Interchange), muito usado em informática.